Claudio Costa wuchs in Chiavari und Cicagna in der Provinz Genua auf. 1961 schrieb er sich für ein Studium der Architektur am Polytechnikum Mailand ein, widmete sich allerdings mehr und mehr der Malerei. Für das Atelier Hayter in der Rue Daguerre in Paris bekam Costa 1964 ein Stipendium als Graveur. Er lernte dort Marcel Duchamp kennen, der eine Gravur seines Werkes „The Pipe Smoker“ anfertigen ließ. 1965 heiratete er Anita Zerio und bekam mit ihr ein Kind. In der Galerie La Bertesca in Genua fand 1969 die erste Einzelausstellung als Maler statt.

Ab 1970 entstandenen auch Objekte. Claudio Costa reiste 1973 nach Marokko und 1990 nach Malindi in Kenia. 1975 baute Costa ein leerstehendes Bauernhaus in Monteghirfo bei Genua zum Museum of Active Anthropology um. Zusammen mit dem Psychiater Antonio Slavich gründete er 1989 das Institute for unaware materials and forms und organisierte kunsttherapeutische Workshops in einer Psychiatrie in Quarto dei Mille.